EL ALGEBRA

EL ALGEBRA DE BALDOR

INTRODUCCION  

Descargar Algebra

El proposito de este libro es introducir a un lector con conocimientos m´ınimos de matem´aticas en el estudio de los n´umeros naturales
0, 1, 2, 3, 4, 5, ...Quiz´ a esta afirmaci´on sorprenda al lector por dos posibles motivos: bien porque crea que los n´umeros naturales son algo tan simple que dif´ıcilmente se puede escribir un libro sobre ellos, bien porque crea que un libro as´ ı no deber´ ıa llamarse ‘´Algebra’. El primer caso es f´acil de rectificar. Consideremos por ejemplo la ecuaci´on x2 + xy−3y2 = 15. ¿Sabr´ ıa decidir el lector si existen n´umeros naturales (x,y) que satisfagan esta condici´on? Tenemos aqu´ ı un problema de planteamiento elemental cuya soluci´on no es nada f´acil. Si existiera un par as´ ı podr´ıamos tener suerte y en- contrarlo por tanteo, pero si no lo hay necesitaremos alg´un tipo de razonamiento que lo justifique, pues el no encontrar soluciones no significa que no las haya. Si el problema fuera x2 + xy + 3y2 = 15 el asunto ser´ ıa muy diferente, pues podr´ıamos hacer 4(x2 +xy +3y2) = (2x+y)2 +11y2 y de aqu´ ı sacar´ıamos una cota a las posibles soluciones, con lo que un n´umero finito de comprobaciones bastar´ ıa para decidir si las hay. Aun as´ ı habr´ıamos necesitado un peque˜no truco que requerir´ ıa un m´ınimo de perspicacia. De nada sirve despejar la y en funci´on de x, o viceversa, pues entonces nos encontraremos con el problema de determinar si una expresi´on con una ra´ ız cuadrada puede o no ser un n´umero natural, y no podremos ir mucho m´ as lejos. Sin duda el lector que cre´ ıa dominar los n´umeros naturales reconocer´ a ya la precariedad de ese dominio. Sin embargo esta situaci´on suele causar rechazo al matem´atico acostumbrado a otra clase de problemas m´ as ... ¿abstractos? La reacci´on natural es: ¿pero qu´ e importa si existen o no soluciones naturales? Una pregunta interesante podr´ ıa ser si existen funciones reales continuas no deriva- bles en ning´un punto, por ejemplo, porque una soluci´on negativa consolidar´ ıa nuestro conocimiento de la continuidad y la derivabilidad, mientras que una soluci´on positiva ser´ ıa (y de hecho es) algo verdaderamente curioso e intrigante. Sin embargo, tanto si alguien encuentra una soluci´on a esa ecuaci´on como si prueba que no las hay, lo cierto es que nos quedamos igual, obtenemos un dato irrelevante.
ix
x Introducci´on
Esta objeci´on entronca con la posible sorpresa de que un libro que promete abordar estas banalidades tenga la osad´ ıa de titularse ‘´Algebra’. El reproche estar´ ıa justificado si lo ´unico que fu´eramos a ver en este libro fuera una co- lecci´on de recetas o, a´un peor, de trucos para resolver ecuaciones como la de antes. Tambi´en en tal caso ser´ ıa razonable opinar que el contenido del libro ser´ ıa irrelevante, al menos seg´un los gustos matem´aticos al uso. Sin embargo, el inter´ es de un problema puede no estar en la pregunta sino en la respuesta. Parafraseamos a Gauss al decir que la aridez de esta clase de problemas oculta una disciplina que merece el t´ıtulo de Reina de las Matem´aticas. ¿Por qu´ e un matem´atico que destac´ o tan prodigiosamente en an´alisis, geometr´ ıa diferencial, f´ ısica y estad´ıstica, entre otras partes de la matem´atica, antepon´ ıa la teor´ ıa de n´umeros a todas ellas? Sencillamente porque al abordar problemas como el que hemos propuesto se encontr´ o con una teor´ ıa mucho m´ as rica, sutil y abstracta que cualquier otra de su ´epoca. Ciertamente, la teor´ ıa de n´umeros antes de Gauss era esencialmente una colecci´on de trucos, verdaderos monumentos al ingenio humano, eso s´ ı, pero despreciables al gusto del matem´atico moderno, pero estamos hablando de la teor´ ıa de n´umeros del siglo XVIII. Para los matem´aticos del siglo XIX la si- tuaci´on era radicalmente distinta, y es esta visi´on moderna la que queremos transmitir al lector de este libro. B´asicamente se puede describir como sigue: Los n´umeros naturales son unos objetos extremadamente caprichosos, pero no ca´oticos. Es como si un pianista decide caprichosamente qu´ e pieza va a tocar. A priori no podemos predecir lo que har´ a, pero una vez que conocemos su decisi´on podemos anticipar cada uno de sus movimientos a partir de la partitura. Un pianista ca´otico ser´ ıa por ejemplo un int´erprete de jazz que improvisara en todo momento. As´ ı, el comportamiento de los n´umeros puede ser controlado en funci´on de ciertos par´ametros, caprichosos hasta donde hoy se sabe, y la forma de controlarlos no es la fuerza bruta (la manipulaci´on de ecuaciones al estilo del siglo XVIII), que ofrece resultados muy limitados, sino la psicolog´ ıa m´ as fina, la b´usqueda de leyes generales que s´olo pueden ser expresadas en t´erminos de objetos abstractos, impensables en una primera aproximaci´on, pero que los matem´aticos han podido descubrir poco a poco a lo largo de casi dos siglos. Pensemos por ejemplo en la introducci´on de los n´umeros enteros: ... −5, −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, ... Se trata del ejemplo m´ as elemental de c´omo un artificio algebraico como es poner un signo delante de los n´umeros resulta ser de inestimable ayuda en su manejo. Tanto es as´ ı que en realidad, aunque la motivaci´on primera en el estudio de los n´umeros proviene de los n´umeros naturales, es m´ as justo decir que en este libro se estudian los n´umeros enteros. Pero si queremos resolver el problema que hemos planteado necesitamos ir mucho m´ as lejos. El paso siguiente en esta direcci´on es factorizar la ecuaci´on x2 + xy−3y2 =≥x + y 1+√13 2 ¥≥x + y 1−√13 2 ¥.Esto puede parecer un sucio ‘truco’, pero en realidad es un paso obvio si se disfruta del punto de vista adecuado. As´ ı nos encontramos con que la ecuaci´on xi est´ a relacionada con el n´umero D = 13, invisible hasta ahora, y que se conoce como discriminante de la ecuaci´on. Por ejemplo, si antes dec´ıamos que el proble- ma con −3 es m´ as dif´ıcil que el mismo problema pero con un +3, un algebrista ver´ a el discriminante D = 13 frente al discriminante D = −11, y el algebristasab e que una de las caracter´ısticas generales de este tipo de ecuaciones es que las de discriminante negativo siempre son m´ as f´aciles. Vemos as´ ı que el verdadero problema no era el signo del −3, sino el del discriminante. Adem´ as nos ha aparecido el n´umero irracional 1+√13 2 , y en este punto el algebrista deja de pensar en n´umeros para fijarse en algo mucho m´ as abstracto, como es el conjunto Zh1+√13 2 i=nx + y 1+√13 2 | x,y ∈Zo. ´ El sabe que este conjunto tiene una estructura importante conocida como do- minio ´ıntegro, que lo hace muy similar al propio conjunto Z de los n´umeros enteros. Sobre este conjunto est´ a definida una aplicaci´on llamada norma N : Zh1+√13 2 i−→Z, dada por N≥x + y 1+√13 2 ¥=≥x + y 1+√13 2 ¥≥x + y 1−√13 2 ¥= x2 + xy −3y2 ycuy o comportamiento es extremadamente regular. El resultado es que la penetraci´on del algebrista convierte un arduo problema que todo el mundo entiende en un sencillo problema que s´olo los algebristas entienden: ¿Existe un entero cuadr´atico en Q(1+√13 2 ) cuya norma sea 15? Decimos ‘sencillo’ pensando, por supuesto, en el punto de vista del algebrista que cuenta con el equipaje de una s´olida y elegante teor´ıa. Para ´ el la soluci´on se obtiene analizando unos objetos todav´ ıa m´ as abstractos y alejados de la simple ecuaci´on dada: los ideales del anillo anterior. No importa si el lector no sabe en este punto de qu´ e estamos hablando (eso es lo que puede aprender en este libro, precisamente), lo que importa es que esos ideales siguen un comportamiento extremadamente simple, de modo que una comprobaci´on elemental le permite concluir la inexistencia de soluciones enteras. Citamos aqu´ ı la comprobaci´on sin ´ animo de que el lector la entienda, s´olo para que admire su sencillez formal: Tenemos que 15 = 3 · 5 y si existiera un ideal de norma 15 ´este tendr´ ıa un factor primo de norma 5, pero eso significar´ ıa que el discriminante 13 ser´ ıa un resto cuadr´atico m´odulo 5, pero (13/5) = (3/5) = (5/3) = (2/3) = −1, contradicci´on. Todo esto puede ser razonado sin esfuerzo incluso mentalmente. El lector encontrar´ a los detalles en el cap´ıtulo XIV. En realidad este problema era muy f´acil. Si el t´ermino independiente de la ecuaci´on no hubiera sido 15, sino otro n´umero, como 17, entonces la soluci´on habr´ ıa sido positiva, y para justificarlo el algebrista habr´ ıa tenido que contar con dos datos m´as, todav´ ıa m´ as abstractos: 1) El n´umero de clases de Q≥1+√13 2 ¥es h = 1,2) El cuerpo Q≥1+√13 2 ¥contiene unidades de norma negativa.
xii Introducci´on
Una vez m´as, no esperamos que el lector entienda nada de esto. La segunda propiedad es f´acil de comprobar con un m´ınimo tanteo, mientras que la primera es un hecho nada trivial y que ejemplifica lo que antes llam´abamos comporta- miento ‘caprichoso’ de los n´umeros. En efecto, cada cuerpo como Q≥1+√13 2 ¥tiene asociado un n´umero natural h llamado su ‘n´umero de clases’, que se puede calcular en la pr´actica mediante un algoritmo. ¿Por qu´ e el n´umero de clases para √13 es h = 1 mientras que, por ejemplo, para √15 es h = 2? Esto forma parte del comportamiento caprichoso de los n´umeros del que habl´abamos antes, pero lo cierto es que, una vez determinado el n´umero de clases, el algebrista sabe cu´ al es el ‘car´acter’ que este capricho imprime a los problemas asociados a este n´umero, y sabe a qu´ e atenerse. No creemos necesario aburrir al lector con m´ as afirmaciones que probable- mente no entienda. ´Estas habr´an bastado para que comprenda la situaci´on. Los problemas num´ericos como el que hemos presentado abren la puerta, a la vez que dan sentido y motivaci´on, a una teor´ ıa cuyo ‘sabor’ ha podido captar hace un momento, una teor´ ıa profunda, rica en conceptos y en ideas y que nos permite llegar a elegantes principios generales m´ as simples formalmente cuanto m´ as elevados y complejos conceptualmente. Se trata de una situaci´on similar a la de la mec´anica celeste: el movimiento de los planetas puede ser descrito eficientemente por las leyes ptolemaicas, mera- mente descriptivas y aproximadas, o por las leyes de Kepler, rigurosas pero t´ ecnicas, o por la ley de la gravitaci´on universal de Newton, la m´ as simple formalmente, o por las ecuaciones de la relatividad general de Einstein, las m´ as sofisticadas de todas, pero las que proporcionan una mejor comprensi´on del fen´omeno. El estudio de los n´umeros enteros se conoce en general como Teor´ ıa de N´umeros, y la teor´ ıa que hay detr´ as es tan vasta que no encaja en ninguna rama particular de las matem´aticas, sino que en ella intervienen el ´algebra, la topolog´ıa, el an´alisis e incluso la geometr´ıa. Por ello, y a pesar de que fraccio- narla no deja de ser artificial, se habla de una Teor´ ıa de N´umeros Elemental (que no usa m´ as que la aritm´etica b´asica), una Teor´ ıa Algebraica de N´umeros, una Teor´ ıa Anal´ıtica de n´umeros y una Geometr´ ıa de los N´umeros. (No obstante las fronteras no pueden establecerse con precisi´on, y por eso se ha terminado hablando de una Teor´ ıa Algebraica de N´umeros Anal´ıtica). El ejemplo que hemos dado corresponde a la Teor´ ıa Algebraica de N´umeros (al igual que el contenido de este libro). Quiz´ a despu´ es de todo podr´ ıa tener raz´on el lector que considerara que ‘´Algebra’ no es el t´ıtulo adecuado de este libro, sino que ser´ ıa mejor haberlo llamado ‘Teor´ ıa Algebraica de N´umeros’. Sin embargo hemos decidido darle el t´ıtulo que tiene porque al fin y al cabo abordamos a un nivel aceptable como introducci´on el equivalente a un primer curso de ´algebra: ´algebra lineal (m´odulos, espacios vectoriales, matrices, deter- minantes), teor´ ıa de anillos, teor´ ıa de cuerpos y teor´ ıa de grupos finitos (con especial hincapi´ e en los grupos abelianos y resolubles y los grupos de permu- taciones), y no creemos que la palabra ‘´Algebra’ deba significar otra cosa m´ as especializada. M´ as bien los libros que se ocupan de resultados algebraicos tan
xiii
abstractos que ya no tienen nada que ver con los n´umeros (cuyo valor e inter´ es nadie pone en duda) deber´ıan llamarse ‘´Algebra abstracta’ (como de hecho al- gunos lo hacen), y un libro de Teor´ ıa Algebraica de N´umeros ser´ ıa algo m´ as especializado y sistem´atico. Preferimos pensar, pues, que ´este es un libro de ´ algebra con ilustraciones de teor´ ıa de n´umeros, encaminado a dotar al lector de una base algebraica suficiente para un estudio posterior de la Teor´ ıa Algebraica de N´umeros propiamente dicha. El criterio general en la redacci´on ha sido usar los n´umeros como hilo con- ductor e ir introduciendo progresivamente los conceptos algebraicos necesarios a un nivel lo suficientemente general como para que el lector termine con un co- nocimiento s´olido del ´algebra elemental, pero nunca hasta el punto (esperamos) de que las ideas resulten oscurecidas por los conceptos formales. La restricci´on principal ha sido que a todos los efectos no existen los n´umeros reales. No hemos demostrado ning´un resultado que requiera el uso de n´umeros reales ni se da ninguna interpretaci´on geom´etrica o aplicaci´on a la geometr´ ıa de los conceptos algebraicos. La raz´on de esta restricci´on es que, en primer lugar, los n´umeros reales no han resultado necesarios en ning´un momento y, en segundo lugar, que consideramos que la introducci´on m´ as razonable de los n´umeros reales es una introducci´on geom´etrica y no algebraica ni anal´ıtica, por lo que no es ´este el libro adecuado para presentarlos. La ´unica laguna importante que este criterio ha ocasionado es que no hemos hablado de equivalencia y semejanza de matrices, vectores propios, polinomios caracter´ısticos, etc., pues estos conceptos tienen una interpretaci´on geom´etrica importante y ser´ ıa absurdo introducirlos sin ella. Tambi´en puede echarse en falta la teor´ ıa de Sylow, de la que no hemos hablado porque su indiscutible utilidad en el estudio de los n´umeros s´olo se pone de manifiesto en estados m´ as avanzados de la teor´ıa, y por lo tanto hubiera sido forzado mostrar alguna apli- caci´on m´ as all´ a de la propia teor´ ıa de grupos. Hemos incluido tres ap´endices con algunos resultados cuyo inter´ es no puede comprenderse plenamente sin co- nocer el desarrollo posterior de la teor´ıa, pero que de todos modos pueden ser ilustrativos porque son una prolongaci´on natural de la teor´ ıa elemental. El orden de exposici´on pretende combinar la naturalidad, en el sentido de que cada concepto aparezca en el momento en que resulta necesario, con el m´ınimo orden preciso para una correcta asimilaci´on por parte del lector. Esto hace que algunos resultados puedan estar en cap´ıtulos donde en principio no se esperar´ ıa encontrarlos. Pi´ensese que ´este no es un libro de consulta, sino un libro para ser le´ıdo desde el principio hasta el final, un libro donde no se pretende que est´ e ‘todo’ sino s´olo lo necesario para que no haya paja que saltar. Esperamos sinceramente que el lector disfrute, si no con la forma de este libro, de la que somos responsables, s´ ı con su contenido, que ha cautivado a tantos matem´aticos.

GEOMETRIA ANALITICA